Кенигсбергские  мосты.

            Уважаемые друзья ! Давайте решим такую задачу. На одном дереве сидят три вороны. У одной перебито крыло, другая все время каркает, третья неотрывно смотрит на землю. На другом дереве сидят две вороны. Они недавно перилетели с соседнего двора. Сколько ворон на обоих деревьях?

            Ответ, конечно, получается сразу – ворон пять. Но у каждого из вас обязательно возникает вопрос – а зачем нам надо знать, что у одной перебито крыло, другая каркает, третья смотрит на землю, две откуда-то прилетели. Разве все это нужно для решения задачи?

            Отвечаю – нет, не нужно. Это была совершенно лишняя информация, способная лишь затруднить поиски решения.

            Математика и представляет собой науку, способную, пожалуй, как никакая другая наука, исключить из рассмотрений, из своих рассуждений всю такую ненужную информацию, сохранив лишь то, что в данный момент является существенным. А существенным является лишь то, что на деревьях было соответственно три и две вороны.

            И вот, в зависимости от того, какая именно информация о реальных объектах оставляется, получают ту или иную математическую теорию. Математика сосредотачивает все свое внимание только на этой информации, находит результаты, а они затем прилагаются к реальным, теперь уже ко многим объектам.

            Рассмотрим пример, теперь уже не юмористический, а совершенно конкретный, математический. Вы знаете, что город Калининград прежде назывался Кенигсбергом. Река, на которой он находится, сейчас называется Преголей, а прежде называлась Преголем. Так вот на этой реке имеется два острова.

             На один из островов с каждого берега проложены по два моста, на другой – по одному. И еще есть один мост, котрый эти острова соединяет. Всего, таким образом, семь мостов. Кенигсбергских мостов. Так было в 18 столетии, о котором сейчас наш рассказ. В настоящее время, в современном Калининграде, мостов, вероятно, больше.

             И вот ходили по этим мостам беспечные кёнигсберцы и не догадывались, что с ними можно связать интересную математическую задачу:  нельзя ли непрерывным маршрутом пройти по всем семи мостам, не проходя ни через один из них дважды?

             Попробуйте, кстати, проделать это на своем листе бумаги. Вы замечаете, что с какого бы места вы не начали движения, неизбежным всегда оказывается следующее – через тот или иной мост приходится проходить дважды, в противном случае какой-либо из них всегда оказывается выключенным из движения.

            Так можно или нельзя?

             Будем решать задачу. Постараемся, прежде всего, избавиться от всей ненужной нам информации, такой, которая будет мешать нам. Например, имеет ли какое-нибудь значение то, широка река или узка, прямые мосты или горбатые, велики ли острова или малы? Очевидно, нет, не имеет. Нам для ответа на вопрос достаточно представить каждый остров в виде точки, в виде точек можно представить и берега. В таком случае будем иметь четыре точки. Мосты можно изобразить просто линиями, какими угодно,но, разумеется, не пересекающимися. Линии соединяют отмеченные точки. Всего, таким образом, имеем семь линий, соединяющих попарно четыре точки. В одной точке-острове сходятся пять линий, в другой- три, в каждой точке-береге- тоже по три линии.

            Чтобы все мосты были пройдены, надо, очевидно, выходя из какой-либо точки, или вернуться в эту же точку, или остановиться в какой -либо другой точке. В первом случае число линий, проходящих через первую точку, должно быть четным, чего у нас нет. Во втором случае лишь через две указанные точки должно проходить нечетное число линий, через две же другие – обязательно четное, чего у нас также нет. Следовательно, задача о кёнегсбергских мостах оказывается неразрешимой. Первым математиком, который доказал это и именно тем способом, который мы только что привели, был великий Леонард Эйлер.

             Давайте получше присмотримся к тем объектам, с которыми мы только что имели дело. Это, как мы видели, четыре точки, соединенные между собой семью линиями. Эти линии можно, очевидно, как угодно преобразовывать, лишь бы они не рвались и не склеивались друг с другом. Все то, что сохраняется при таких преобразованиях, есть предмет нашего интереса, все то, что меняется (форма кривых, их длина, углы между ними и т.д.), интереса сейчас не представляет.

            Наука, изучающая свойства фигур, не меняющиеся при всевозможных непрерывных преобразованиях, переводящих разные точки в разные же, получила название топологии. Леонард Эйлер стоял у истоков этой науки, расцвет же ее приходится на более позднее время. В 19 веке многое сделали для ее развития выдающиеся математики Бернгард Риман и Анри Пуанкаре. В создании топологии  большую, а часто определяющую роль сыграли российские математики. Истинными творцами российской топологической школы являются два выдающихся российских геометра Павел Самуилович Урысон и Павел Сергеевич Александров, а также последователи их школы  -  академики Тихонов, Колмогоров, Понтрягин и др. Но всё, чем они занимались, - это – высшая топология, о которой в нашей популярной беседе рассказать достаточно трудно. Поэтому вернемся к топологии элементарной, к той топологии, представление о которой нам дали кёнигсбергские мосты.

            Возьмем обыкновенный тетраэдр. Так называют произвольную треугольную пирамиду. В ней вместе с основанием четыре грани. Вершин у такой пирамиды тоже четыре, а рёбер – шесть. Составим, так называемое эйлерово число – от суммы количества вершин и граней отнимем количество рёбер. Для нашей пирамиды это число оказывается равным 2.

            Возьмем куб. У него шесть граней, восемь вершин и двенадцать рёбер. Складывая количество рёбер и граней и отнимая количество вершин, опять получаем эйлерово число 2.

            Еще пример. Возьмем октаэдр. Чтобы его получить, берем две четырехугольные пирамиды с одинаковыми основаниями и совмещаем эти основания. У этого многогранника 8 граней, 6 вершин и 12 рёбер. Эйлерово число опять равно 2.

             Случайность это, или закономерность? Оказывется, закономерность. Указанное соотношение справедливо для любого выпуклого многогранника, более того, для любого многогранника, который путем непрерывных преобразований может быть переведен в сферу. Каждый из трех упомянутых многогранников, как легко понять, таким свойством обладает.

            И вот, пытаясь, доказать  высказанное предложение, мы как раз и используем тот общий взгляд на геометрические фигуры,  который характерен для топологии и который является одной из ее наиболее сильных сторон. Эйлером было доказано, что при увеличении количества вершин, граней и рёбер таких многогранников, эйлерово число всегда остается неизменным, а именно 2.

            А вот еще один из вопросов, который является предметом рассмотрения топологии. Возьмите обыкновенный лист бумаги. Сколько у него сторон? Каждый ответит правильно – две. Чтобы перейти с одной стороны на другую, надо обязательно перейти через край этого листа. Если же вы возьметесь закрашивать такой лист, то, не переходя края, можно закрасить лишь одну его сторону.

            Оказывается, однако, есть поверхности, у которых только одна сторона. Такую поверхность можно окрасить всю, не переходя через ее край. Примером такой поверхности является лист Мёбиуса. Его можно получить так. Возьмем прямоугольную полоску бумаги. Перегнем один ее конец на 180 градусов и приклеим к другому. Получится лист Мёбиуса. Его можно закрасить весь, не переходя через границу листа.

            В топологии такие предметы, как, например, хоккейная шайба и хоккейная клюшка, ничем не отличаются друг от друга, т.к. путем непрерывных преобразований одну можно перевести в другую. Топологически эквивалентными следует сачитать тарелку, вилку, нож, ложку, сковородку и т.д.

Но вот чайная чашка с ручкой не эквивалентна блюдцу – чтобы преобразовать чашку в блюдце, надо как-то заклеить отверстие, образуемое ручкой. А такое заклеивание (из материала чашки и блюдца) уже не будет топологическим преобразованием. В то же время стакан и блюдце топологически эквивалентны.

             Хотелось бы, чтобы у вас не сложилось мнение о том, что топология – это наука, в которой с серъезным видом решают задачи о том, можно или нельзя пройти по всем кёнигсбергским мостам, не проходя по одному дважды?, можно или нельзя закрасить перекрученную ленту, не пересекая ее границ?, нужно ли считать вершины, рёбра и грани многогранников?

            Отвечаем – нет, это только элементарное  начало топологии. Мы знаем, что никакая наука не имела бы права называться таковою, если бы она ограничивалась рассмотрением только элементарных вопросов. В топологии за этими вопросами потянулись другие, за другими – третьи и т.д. и к настоящему времени она так разрослась, что охватила собой  буквально всю современную математику.

             Топология позволила уточнить целый ряд понятий, с которыми математики постоянно имели дело, но, как оказалось на поверку, имели об этих понятиях довольно смутное представление. А эта смутность нередко приводила к серьёзным недоразумениям. Так случилось, например, с понятиями линии, поверхности и другими.

             По поводу линии топология предлагает следующий ход рассуждений. Это-одно из основных понятий математики, настолько основных, что в математике его принимают за первичное и другие понятия стараются свести к нему. Такими же понятиями являются понятия множества, размерности, точки и др.