Евклид и три обола.

            Самой центральной фигурой древнегреческой математики является Евклид Александрийский. Но прежде, чем говорить о нем, окинем взглядом положение Греции тех времен. С 431 по 404 года до н.э. в Греции шла междуусобная  Пелопонесская война, описанная знаменитым историком Греции Фукидидом (460-401 до н.э.). Эта война так ослабила собственно Грецию, что города-государства стали жертвою нападения Филиппа Македонского (битва при Херонее в Беотии, 338г.дон.э.). После его насильственной смерти вся власть перешла к его старшему сыну Александру, воспитаннику знаменитого Аристотеля. В 334 г.дон.э. Александр начал войну против Персии, вследствии чего были покорены многие земли Ближнего Востока. Это привело к расширению греческой культуры в персидском царстве. После смерти Александра (323 г.дон.э.) его империя была поделена между его полководцами. Важнейшая часть империи в Египте стала государством  Птолемеев со столицей в сверкающем городе Александрии, основанном Александром. Во время царствования Птолемея II  Филадельфа (285-246 дон.э.) в Александрии было создано средоточение муз – Музей, первое государственое собрание высшей духовной культуры, подобное нынешним университетам и академиям. Музей был способен вести астрономические наблюдения, анатомические исследования, имел огромную чудесную библиотеку, а также первую коллекцию греческих рукописей.

            Александрия и ее Музей более пятисот лет оставались центром духовной культуры, пока Музей не был уничтожен фанатиками-христианами. Деятельность Евклида начинается в Александрии еще при царе Птолемее I (306-283 г.дон.э.). Как же Евклид оказался в Александрии и кто он такой?

            Представь себе, читатель, бассейн Средиземного моря. Это – средоточение древнейших цивилизаций на земном шаре. Греки называли этот бассейн Ойкуменой, считая, что  им ограничивается вообще вся территория, где только возможна жизнь. С правой стороны – Сирия, Финикия, малоазиатские колонии древней Греции, еще далее, направо,- Вавилон, снизу – Египет и Карфаген, сверху – собственно Греция и Рим, а также их многочисленные колонии. На краях Ойкумены – также колонии или территории, где жили, по терминологии древних, варвары.

            Математика как наука, в частности, геометрия, зародилась в Ойкумене. Следуя древнегреческим авторам, мы будем говорить, что родиной геометрии является древний Египет. Именно туда стремилось попасть множество молодых и немолодых людей из обеспеченных семей, чтобы набраться там восточных премудростей.

            Картину «рождения» геометрии в упрощенной форме описывают так. Каждый год в начале лета главная река  Египта Нил (древние египтяне называли его Хапи) широко разливается, затапливая водой огромные земли. Через некоторое время вода спадает, оставляя толстый слой жирного, плодородного ила. Возникает особая категория людей (их называли гарпедонаптами), обязанностями которых был раздел ильных земель на отдельные участки. Эта работа выполнялась на протяжении многи сотен лет. В процессе работы приобретались, чисто эмпирически, начальные знания о свойствах геометрических фигур. Все знания передавались следующим поколениям, которые прибавляли к ним что-то свое, новое и т.д. Геометрии в том понимании, какой мы представляем  ее теперь, у египтян не было. Не было символики, не было аксиоматики, не было доказательств.  Приблизительно такая же картина наблюдалась и в древнем Вавилоне.

            Совсем другое происходит в древней Греции, начиная с 7 в.дон.э. Здесь со времен Фалеса Милетского начинается совершенно новый качественный этап в развитии геометрии. В математике, благодаря Фалесу , возникает идея доказательства. Так, если верить историкам древности (труды Фалеса до нас не дошли), он доказал ряд теорем, как-то: диаметр делит круг на два равных полукруга, хорда всегда короче диаметра, вертикальные углы равны между собой и т.д.

             Естественно, что без предшествующего нагромождения конкретных геометрических фактов многими поколениями египтян, вавилонян, да и самих греков ни о каком введении в математику  идеи доказательства не могло быть и речи.

             Через некоторое время после Фалеса математических фактов было накоплено так много, что появилась необходимость упорядочить их, т.е. свести их в некоторую систему.

Начали появляться  труды, которые содержали систематическое содержание элементов геометрии. Случайно, или вследствие каких-то закономерностей они имели одно и то же название: «Начала» или «Элементы».  Авторами таких «Начал», которые не дошли до нас, были Февдий из Магнезии и Гиппократ Хиосский (не путать с врачом – отцом медицины Гиппократом Косским). Об этих произведениях  мы узнали из трудов позднейших авторов, которые сами не слишком много внесли в математику, но скрупулезно комментировали результаты ученых более древних времен. Таких авторов называют комментаторами. Среди них следует назвать Евтокия (6 в.н.э.), Паппа Александрийского (3-4 вв.н.э.),  Прокла (5 в.н.э.).

            Одним из наиболее удивительных трудов древнегреческой математики являются «Начала», которые принадлежали самому выдающемуся математику того времени – Евклиду Александрийскому.

            О Евклиде Александрийском как о человеке нам известно очень мало. Мы знаем, что будучи от рождения греком, он много путешествовал по Ойкумене. Добравшись до Египта, он был поражен размахом и величием египетских пирамид. Оказавшись в городе Александрия,  был потрясен Александрийской библиотекой и остался жить и работать в этом городе (именно по этой причине Евклида называют Александрийским). Он стал  заведовать математическим отделом библиотеки. Если верить древним историкам, Евклид был очень скромным человеком, никогда не пытался выскочить вперед, никогда специально не искал для себя почета и славы. Это был ученый, полностью отказавшийся от обычных утех и радостей.

            1.Рассказывают, что египетский царь Птолемей I, наслышавшись о необыкновенной мудрости Евклида и о том, что он написал  великий труд «Начала», пожелал лично познакомиться с прославленным математиком и с его не менее прославленным трудом. В сопровождении своего двора и стражи он прибыл в библиотеку и попросил Евклида рассказать ему содержание его великой книги. Царь милостиво выслушал доказательства двух первых теорем, которые Евклид пожелал ему рассказать, но уже в начале третьей, удивившись тому, каких трудов ему стоило усвоение математических истин, содержащихся в теоремах, не сдержался и выкрикнул:

            -Неужели нет других путей для того, чтобы понять эти вещи?

            На это Евклид с достоинством ответил:

            -Нет, в математике даже для царей нет других путей.

            Да, даже для царей! Мысль о том, что математика – это не место для прогулок, а предмет, требующий напряжения всех сил от каждого, кто пожелал бы ее выучить, множество раз в разных вариантах повторялась многими особами, и до Евклида, и после него.

            2. Евклидовы «Начала» были такими тяжелыми для усвоения,  что о теоремах, содержащихся в них, говорят такое: первые две теоремы «Начал» являются теоремами, а третья – элефюга, что в переводе означает бегство ученика. Это значит, что мало кто выдерживал то невероятное напряжение мысли, которое они требовали.

            Со временем их значительно упростили и приспособили для понимания даже слабых учеников. Но «чистые» теоремы «Начал» тяжелы, вероятно, и для хорошо подготовленного читателя. Недаром была создана легенда, которую в различных вариантах в более поздние времена высказывали авторы историко-математических экскурсов. Говорят, что один из учеников Евклида, обессиленный от попыток усвоить «Начала», обратился со слезами к своему скромному, но очень, вероятно, требовательному учителю:

            -Что я буду иметь за то, что учу все это?

            Евклид приказал одному из своих рабов:

            Дай ему три обола. Он заслужил их уже тем, что изучает «Начала».

            Вот, оказывается, откуда возникла позднее студенческая стипендия! Изучать математику – это труд, который оценивается также, если не более, чем тяжелый физический труд.

            Свои «Начала», состоящие из тринадцати книг (впоследствии к ним прибавили еще две книги), Евклид строит следующим образом. Прежде всего он определяет математические понятия способом их объяснения. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «прямая линия есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек», «куб есть телесная фигура, ограниченная шестью равными квадратами» и т.д.

            Затем формулировались утверждения, которые нужно было принимать без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами или постулатами. До сих пор правильного объяснения отличия аксиом от постулатов нету. Принято считать, что аксиомы – это утверждения, которые вводят отношения равенства и неравенства величин. Аксиом в «Началах» пять:

1.      Равные одному и тому же, равны между собой.

2.      Если к равным прибавлять равные, также получаются равные.

3.      Если от равных отнять равные, получатся равные.

4.      Все то, что совмещается друг с другом, равно между собой.

5.      Целое больше части.

            К постулатам относятся утвердения, относящиеся к геометрическим преобразованиям. С их помощью Евклид обосновывает все геометрические построения и алгоритмические операции. Постулатов также пять:

            1. Через две точки можно провести прямую.

            2. Отрезок прямой можно неограниченно продлить.

            3 .Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.

            4. Все прямые углы равны между собой.

            5. Если две прямые, лежащие в плоскости , пересечь третьей и если сумма

                 внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов,  то прямые

                 пересекутся с той стороны, где находятся эти углы.

            В разных изданиях «Начал» система аксиом изменялась и дополнялась.

            Справка. Аксиома – в переводе с греческого, буквально, честь, уважение, авторитет. В переносном смысле аксиома обозначает то, что в следствие своего авторитета не подлежит сомнению, возражению. Впервые этот термин употребил древнегреческий философ Аристотель. В течение долгого времени математики под аксиомами понимали те истины или положения, которые вследствии их очевидности можно принять без доказательства. В современной математике понятию «аксиома» придают более широкое значение, а именно: аксиома – это одно из исходных утверждений, принимаемое без доказательства и положенное в основу некоторой теории.

             После аксиом строго и логически доказываются следствия – теоремы. Каждый, кто принимал аксиомы, вынужден был с необходимостью принимать и теоремы.

            Мы не будем рассматривать содержание «Начал». Этому посвящены специальные книги и исследования. Скажем только, что «Начала» оставили неизгладимый след в истории математики и на протяжении многих столетий являлись классическим образцом математической строгости и последовательности. На протяжении многовековой истории математики «Начала» были фундаментом всех геометрических исследований. Так, исследование «Начал» привело великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского к открытию в 1826 году новой неевклидовой геометрии, о которой поговорим позже на страницах нашего сайта.

            Литература:

1.      Н.И.Кованцов, Математика и романтика, Киев, «Вища школа»,1980г.

2.      Л.В.Кованцова, А.Н.Кованцов, Занимательная история математики, Киев,

«Дия»,2000г.

3.      А.Н.Кованцов, Неевклидовы геометрии, Рига, Природа и компьютерный мир,

№2, 2002г.