Ферма  и  его великая  теорема.

           Можно ли построить дом с помощью только ножа? Отвечаем – можно. Для этого нужно ножом прежде всего срезать необходимое количество деревьев. Это будет длительный и тяжелый процесс, но, в принципе, возможный. Действительно, подходим к дереву и ножом от ствола отковыриваем кусочки, пока оно не упадет.  Потом к другому дереву, к третьему, ... С поваленных деревьев срезаем ветки. Остаются стволы, с них снимаем кору, расщепляем деревья на доски, брусья, просверливаем отверстия для деревянных же гвоздей, забиваем гвозди в доски. И все – ножом. Через какие-нибудь десять лет, смотри – дом готов.

            Но все же лучше, кроме ножа, иметь еще пилу, топор, молоток, рубанок, стамеску, железные гвозди. Инструментов будет больше, зато дом можно построить значительно быстрее, да и вид у него, наверняка, будет привлекательней.

            Вы спросите: к чему эти разговоры? А к тому: можно ли в математике обойтись только целыми числами? Только рациональными и действительными ? В принципе – можно . Но это будет то же самое, что и построение дома с помощью одного только ножа. Число – это инструмент, с помощью которого мы познаем мир. Чем совершенней это инструмент, тем легче познавать мир, тем больше сторон его можно раскрыть.

            Числа, числа, числа. Они  окружают нас постоянно. Окружают в быту, на работе, на отдыхе. С раннего детства мы учимся решать уравнения, сначала – простые (линейные), затем квадратные, кубические. Мы замечаем, что решая, например, алгебраические уравнения, мы все время наталкиваемся на необходимость выражать их корни определенным образом через коэффициенты этих уравнений. Оказывается, однако, что действительных чисел для этого не достаточно. Так были открыты комплексные числа. Это произошло в 16 веке. Итальянские математики Кардано и Бомбелли впервые столкнулись с числами,  существование которых даже нельзя было предположить. Комплексные числа стали настоящей панацеей от неприятностей, связанных с решением алгебраических уравнений. В комплексных числах решаются все алгебраические уравнения с действительными коэффициентами. Правда, это было доказано значительно позднее (в середине 18ст.) французским математиком Даламбером, а позднее – великим немецким математиком Гауссом.

Этот вклад в математику получил название основной теоремы алгебры.

            Уравнения с целыми коэффициентами с любым числом неизвестных и произвольной степени называются диофантовыми. Это название связано с именем древнегреческого  математика Диофанта (3-4 вв. н.э.). Диофантовы уравнения были и остаются одной из самых любимых тем в теоретико-числовых исследованиях математиков.

            В 1900 году на Международном математическом конгрессе в Париже выдающийся немецкий математик Давид Гильберт сделал доклад, в котором, в частности, сформулировал 23 проблемы. Впоследствии они вошли в историю науки как проблемы Гильберта. 

            Под  номером  10 у него была сформулирована проблема диофантовых уравнений. Поскольку диофантовыми называются уравнения с целыми коэффициентами, то и решения таких уравнений следует искать в целых числах.

             Гильберт ставит проблему: нельзя ли построить такой алгоритм, чтобы с его помощью узнать, имеет ли диофантово уравнение решение в целых числах. Многие математики делали попытки решить десятую проблему Гильберта и некоторые частные результаты были получены. И только в 1972г. ленинградский математик Юрий Матиясевич полностью решил эту проблему. Решение было отрицательным – десятая проблема Гильберта – неразрешима. Это значит, что не существует такого алгоритма,  пользуясь которым о всяком диофантовом уравнении можно сказать, решается оно в целых числах, или нет. Иначе говоря, десятая проблема Гильберта алгоритмически неразрешима.

            В 1630 г. выдающийся французский математик Пьер Ферма  формулирует свою знаменитую теорему. В ней утверждается что уравнение   не имеет решение в целых числах, если  больше 2. Это значит, что при   не существует четвёрки целых чисел  удовлетворяющих данному уравнению. Легко видно, что эта теорема является обобщением  теоремы Пифагора. Уравнение Ферма является диофантовым уравненим и представляет собой одно уравнение с четырьмя неизвестными:  В случае  оно становится теоремой Пифагора и выглядит следующим образом: .  Одно из его решений известно каждому школьнику, а именно:  Однако этого мало. Надо было показать, что при    больше 3 уравнение Ферма в целых числах решить нельзя. Ферма не оставил после себя доказательства своей теоремы. Правда, существует сведение о том , что в письме своему другу Пьер Ферма сообщает, что получил доказательство своей теоремы, причем настолько простое, что оно поместилось на полях его книги. К сожалению, ни эта книга, ни его доказательство до нас не дошли и все попытки  доказать эту теорему на протяжении уже более 300 лет не приводят к положительному результату. Очевидно, если бы проблема Гильберта имела положительное решение, то мы могли бы справиться и с задачей Ферма. Но алгоритма нет, и теорема Ферма, как и прежде, продолжает волновать умы математиков.

            К слову, теорема Ферма формулируется очень просто. Многих такая простота вводит в заблуждение и они пытаются «сходу» доказать её. И, естественно, терпят неудачу. Им даже дали специальное прозвище – «ферматисты».  А тем временем бесконечным потоком  приходят письма в Академии наук,  университеты, математические институты. В этих письмах предлагаются доказательства теоремы Ферма, но ни в одном из них нет действительного решения задачи. И все же не следует отказываться от попыток доказательства теоремы. Ведь занятие математикой – это своеобразная беспроигрышная лотерея. Пытаетесь ли вы малыми силами решить проблему, с которой не смогли справиться известные математики, или ищете явно не существующее решение, - вы никогда не будете в проигрыше. Не решив проблемы, вы, однако, всегда можете найти много важных и полезных результатов, причем нередко намного более важных и полезных, чем та проблема, которую вы решали. В истории математики таких примеров существует множество.

        Многие выдающиеся математики занимались проблемой Ферма и получили немаловажные результаты. Так, Л.Эйлер (1707-1783) доказал, что уравнения     и             не имеют решения в виде натуральных чисел. А.Лежандр (1752-1833) и  П.Г.Л.Дирихле (1805-1859) доказали, что также уравнение  неразрешимо в целых числах. Г.Ламе (1795-1870) доказал, что уравнение Ферма не имеет решения в целых числах при . В середине 20в. Э.Э.Куммеру удалось доказать, что теорема Ферма верна лишь для некоторых особых значенй, и что она, наверное, верна для величин  меньших 100. Однако общего доказательства теоремы Ферма  Куммер вывести не смог.

       Так как теорема Ферма получила большую популярность в математической литературе и способствовала открытию новых методов решения задач, её стали называть  великой теоремой Ферма

       Ферма доказал много теорем теории чисел. Каждую из них можно было бы назвать его именем. Но, скорее всего самой популярной была та теорема, о которой мы говорили выше.  Эта теорема остается до сих пор не доказанной.

            Литература.1. Кованцов М.I., Математична хрестоматiя, Киiв,                                                 «  Радянська школа»,1977.

            2. Кованцова Л.В.,Кованцов А.Н., Занимательная история математики, Киiв,  «Дiя»,2000.