asterSoft.net Програмные Продукты Учителям и Родителям Конкурсы Ссылки Обратная Связь
 

Персональная страница Александра Кованцова.

Геометрия    и   теория   относительности.

       

   Многие  из вас слышали о теории относительности, творцом которой является выдающийся физик Альберт Эйнштейн (1879-1955). Многим, возможно, приходилось читать популярные книги по этой теории, в которых рассказывается об очень захватывающих вещах, а именно: если, например, отправить в космический полет путешественника, то время для него будет течь медленнее, чем на Земле. И когда этот путешественник возвратится на Землю, то он будет еще молодым, а на Земле все намного постареют или даже  сменится  ряд поколений.  Слышали многие и о том, что в движущихся телах длины в направлении движения укорачиваются, что события, происходящие одновременно в неподвижной системе координат, в подвижной системе оказываются неодновременными и т.д. В то же время многие слышали о геометрии Лобачевского, названной так по имени великого русского ученого Николая Ивановича Лобачевского. Известно, что в этой геометрии сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых углов, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой не всегда пересекаются., что площадь треугольника не может быть как угодно большой и т.д.

   Однако очень часто знания о теории относительности и о геометрии Лобачевского ограничиваются лишь поверхностными представлениями о них. Сделаем попытку разобраться в них более досконально.

   Что же это за теория относительности, что за геометрия Лобачевского и какая между ними существует связь? Почему мы так, будто бы по своему желанию, объединили эти, казалось бы, несовместимые вещи?

Оказывается, что геометрия и теория относительности являются по существу некоторой единой теорией, где  некоторые ее части не могут существовать отдельно одна от другой. Собственно говоря, иначе и не могло бы быть, т.к. наша математика, в частности, геометрия – это не произвольное открытие нашего разума, а научная теория, отображающая  свойства окружающего нас внешнего мира. Теория относительности не могла бы возникнуть, если  не было бы геометрии Лобачевского, а точнее не было бы воображения, вызванного самим фактом существования этой геометрии, представление о том, что возможны различные геометрии, описывающие окружающий нас мир. Сам создатель теории относительности  А.Эйнштейн в своей книге «Геометрия и опыт» подчеркивает то, что к своей теории он пришел как раз под влиянием открытия Лобачевского.

 Но все по порядку.

  Наша геометрия ведет свое начало с незапамятных времен. Ее связывают с именем выдающегося  математика древности Евклида Александрийского. Евклид жил в 4-3 веках до н.э. в городе Александрия. Главное его произведение называлося «Начала». «Начала» были построены следующим образом. Сначала давались определения геометрических понятий. После этого приводились утверждения, принимающиеся без доказательств. Эти утверждения  назывались аксиомами или постулатами. Если бы их не было, то мы не могли бы строить геометрию с помощью законов формальной логики, а именно такое построение и было целью Евклида. После аксиом и постулатов в строгой последовательности шли следствия – теоремы.

  Почти все рассуждения Евклида были безупречными. Но внимание читателей и исследователей привлек к себе  так называемый 5-й постулат. Читается он так. Если на плоскости две прямые пересекаются третьей и при этом сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, то эти прямые пересекаются.

   Почему то было высказано предположение, что этот постулат совсем не является постулатом, что его вроде бы можно доказать как теорему, используя другие постулаты и аксиомы Евклида.

   И вот начались попытки найти доказательство постулата. Известно, что эти попытки продолжались на протяжении почти двух тысяч лет. Все они оказались безрезультатными. Почему?  А потому, что пятый постулат не может быть найден как следствие других аксиом и постулатов. А если это так, то возможна, очевидно,  и такая геометрия, где все аксиомы и постулаты евклидовой геометрии имеют место, а пятый постулат не имеет. Значит, может быть и такое, что хотя сумма упомянутых выше углов и меньше двух прямых углов, однако прямые все-таки не пересекаются. Первым, кто по настоящему это осознал  и был великий ученый Н.И.Лобачевский. Независимо от него к такой же мысли пришли также венгерский математик  Янош  Больяи и немецкий математик К.Ф.Гаусс.

  Но нас интересует не то, что пятый постулат может быть доказан как теорема. Главное – то, что, оказывается, евклидова геометрия – не единственная, как тогда считали. И в этом  были настолько глубоко убеждены, что в течение очень долгого времени Лобачевского просто не хотели понимать. Оказалось, что геометрия Лобачевского, геометрия Евклида и другие возможные геометрии – это средства, с помощью которых мы познаем  окружающий нас мир. Один способ может лучше описывать некоторые свойства этого мира, другой – другие. Та геометрия, которую мы связываем с теорией относительности – является и не геометрией  Евклида, и не геометрией Лобачевского, но сама мысль о ней не могла бы возникнуть без факта существования геометрии Лобачевского.

   Обратимся теперь к теории относительности. Был замечен такой очень интересный факт. Измерялась скорость света. Оказалось, что она не зависит от того, двигается ли источник света, или остается неподвижным. Почему так происходит? Ведь каждому известно, что если тело движется относительно наблюдателя со скоростью V, а какая то точка М  относительно тела -  со скоростью W, то скорость точки  М  относительно наблюдателя равна 

 V + W.

 

 

                                              

М    W

                                           ТЕЛО __________________________

                                                                 V                                 W'=V+W

  

                                                        -наблюдатель

Однако, если М – это фотон света, то его скорость как относительно подвижного тела, так и относительно неподвижного наблюдателя будет одинаковой. Это – физический факт, это  - не абстрактное теоретическое построение.  Точно таким же физическим фактом является и то, что если два тела (две системы координат) двигаются одно относительно другого прямолинейно и равномерно, то все физические процессы происходят в этих телах полностью одинаково.

   В чем же дело? Казалось бы, здесь – противоречие. Но факт есть факт и его нужно объяснить.

   Почему возникло это противоречие? Не потому ли, что наши представления о движении тел, о времени, не совсем соответствуют свойствам реального мира? Вероятно, именно так. Вероятно,  эти представления дают нам лишь упрощенную картину мира, свойства которого намного сложнее наших теоретических схем.  Как же  объяснить упомянутое явление, связанное с постоянством скорости света?

   Будем рассуждать так. Пусть есть два наблюдателя – один неподвижный, а второй двигается относительно него со скоростью V. Пусть у каждого наблюдателя есть собственные часы и собственная система координат. Если в какой нибудь точке происходит событие, то ее координаты в подвижной и неподвижной системах координат пусть соответственно равны   и  . Предположим сначала,что часы обоих наблюдателей показывают одно и то же время t. Тогда связь между координатами x и x' может быть записана так

                                             

 (ради упрощения взяли эту связь линейной).   , мы должны считать некоторыми функциями скорости V.Если точка  М,  в которой происходит событие, изменит свое положение, то ее координаты  и  являются  некоторыми функциями времени  , а  потому  их скорости соответственно равны   и . Из предыдущего равенства находим

                                     ,  или.     

И вот тут мы должны сделать вывод, что какими бы не были наши функции  и , добиться того, чтобы при   (С- скорость света ) мы  имели также , невозможно. В чем же дело? А дело, очевидно, в том, что мы не имеем право считать, что время на обоих часах одно и то же. Это время с движением должно изменяться, т.е. одно и то же событие в разных системах координат происходит в разное время. Таким образом, время в одной системе координат будет функцией, как места события (координаты), так и времени в другой системе координат. Поэтому вместо одного равенства мы имеем теперь два

                                                                                                ( 1 )

 некоторые пока что неизвестные функции от V. Тогда, как легко понять,

                 ,          или       .                                              (2 )

Для скорости света в соответствии с фактами, мы должны иметь

,                или            .                     (3 )

Если свет распространяется в противоположном направлении, то его скорость мы должны положить равной –С. Тогда равенство (3) приобретет вид

.

Сравнивая это с равенством (3), имеем ,  , а потому равенства (1) приобретут вид

       

                                                           .                                    ( 4 )

Решим систему (4)  относительно :

          ,        где      .                  (5)

Обе движущиеся системы являются вполне равноправными. Разница только в том, что когда одна двигается относительно другой со скоростью , то вторая двигается относительно первой со скоростью  Поэтому формулы (1) и (4) должны иметь совершенно одинаковый вид заменой  на При  обе системы совпадают, значит . Это значит, что коэффициент  обращается в нуль вместе с . В то же время при  оба равенства (1) и (5) приводят к . Более того,  сравнивая  (1) и (5), сразу же видим, что  для любых скоростей  :

                                           .                                                    (6)

Положим   . Мы имеем право это сделать, т.к.  при . Ради простоты ограничимся первой степенью . О том, что коэффициент обозначен через , где  - еще неизвестный нам коэффициент, мы поговорим далее. Из (6) находим 

 

 

  

Формулы (1) приобретают вид

                                                   .                           (7)

          Опыт подсказывает, что  если бы скорость света была бесконечной, то никакой необходимости в замене обычных формул не было бы. Координаты точек в двух системах координат определялись бы обычным способом , а именно:

                                                       .                                                    (8)

Будем считать, что формулы (7) при с=  становятся формулами (8)  (это специально оговорено). А потому следует положить  Формулы (7) приобретают окончательный вид

                                            

Эти формулы называются формулами Лоренца. Они являются основными в теории относительности Эйнштейна, а именно в той ее части, которая называется специальной теорией относительности. Заметим, что из этих формул непосредственно следует следующее – если положить с=, то    т.е. время в обеих системах координат, двигающихся одна относительно другой равномерно и прямолинейно (такие системы называются инерциальными системами) течет одинаково.

          Формулы  (2)  сложения скоростей становятся

                                          или      .                               (9)

Отсюда видно, что когда  то  и  . Если же  то и   а не 2с, как должно бы быть, если бы мы считали по законам обычной механики.

 

 

 

Присмотримся внимательно  к формулам Лоренца. Пусть  в какой то одной точке  произошли два события соответственно в моменты времени   по часам в неподвижной системе и  по часам в подвижной системе. Тогда

 ,                            

(мы сначала решили уравнения (8) относительно  ). Отсюда

          Ясно, что  > . Это значит, что по часам в неподвижной системе между этими событиями прошло больше времени, чем по часам в подвижной системе. Это и значит, что в подвижной системе время течет медленнее.

Заметим, что в неподвижной системе эти события происходят не в одной, а в разных точках, т.к.

,       ,   ≠0.

Пусть теперь есть некоторый отрезок  в подвижной системе, концы которого будем рассматривать в одно и то же время . Тогда

     

Видим, что > . Итак, получили новый, упомянутый также выше, парадокс специальной теории относительности – в двигающихся системах  длины тел в направлении движения укорачиваются.

          Заметим, что в неподвижной системе координат время, в которое рассматриваются   концы движущегося  отрезка, не одно и то же, т.к.

 

 

   ≠0.

          При чем же тут геометрия? А вот при чем. Положим . Тогда формулы (8) приобретают вид

                                   ,  .                                 (10)

Будем считать  и  координатами точки некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Тогда на формулы (10) можно смотреть как на формулы преобразования плоскости, а именно – формулы вращения около начала координат. Параметром такого вращения есть .  Легко убедиться в том, что совокупность преобразований (10) является группой преобразований. Это значит, что обратное преобразование к преобразованию (10) имеет такой же самый вид (заменой  на  ), и если взять последовательно два преобразования  вида (10), то в результате получим преобразование того же вида (с новым значением параметра).

         Некоторое время после того, как была открыта геометрия Лобачевского, в геометрии господствующим был взгляд на нее как на теорию , изучающую свойства  фигур, которые не изменяются при преобразованиях некоторой группы. В основе каждой группы есть определенная группа преобразований. Есть такая группа и в геометрии Лобачевского, есть такая группа и в геометрии  Евклида. Например, если рассматривать поворот около начала координат в евклидовой плоскости, то имеем такие равенства

                                          

                                          ,                                  (11)

 параметр группы (угол вращения). Формулы (10) и (11)  похожи друг на друга и в то же время между ними есть отличия. Отличия состоят в следующем. Возьмем на плоскости две точки  . Каждой из них  формулы (11) ставят в соответствие точки  . Очень легко можно убедиться в том, что

                         -  =.                  (12)

 

 

 

 

 Это равенство  является характерным для евклидовой  геометрии. Оно означает,  что при  евклидовых вращениях около точки расстояние между точками сохраняется  .  Если же  потребовать условие (12), то придем именно к формулам (11) (в случае вращения).

          Иное положение имеем в случае формул (10). Нетрудно убедиться в том, что теперь вместо (12) будет выполняться уже такое равенство

                    .                      (13)

Она также является характерной для преобразования (10). Эти преобразования соответствуют другой гоеометрии, ее называют псевдоевклидовой. Итак, с геометрической точки зрения  специальная теория относительности является теорией инвариантов группы (10), т.е. есть ни что иное, как псевдоевклидовая геометрия.  Правда, эта теория несколько выходит за границы псевдоевклидовой геометрии, потому что в ней рассматриваются такие, например, вещи, как масса тела. Но в своей аналитической сути обе теории – теория относительности  и псевдоевклидовая геометрия – идентичны.

          Заметим, что сведя формулы (8) к виду (10), мы времени присвоили роль координаты. Наша одномерная инерциальная система стала рассматриваться как двумерная плоскость.

          Можно обобщить наши рассмотрения на случай трехмерного пространства. Тогда, прибавляя к нему  время, умноженное на скорость света, как четвертую координату, получают так называемый четырехмерный пространственно-временной континуум. Этот континуум (непрерывную совокупность четверок чисел) связывают с именем математика Германа Минковского, который вместе с А.Эйнштейном создавал специальную теорию относительности. Четырехмерный пространственно- временной  континуум – это геометрическая модель, описывающая процессы, которые происходят в реальном физическом пространстве.

          Но – это те процессы, которые происходят только при прямолинейном равномерном  движении. Однако, это не единственные движения во вселенной. А как быть в случае произвольных движений?

          В этом случае Эйнштейном была создана более общая теория – так называемая общая теория относительности. Основой для нее послужила  уже не псевдоевклидовая геометрия, а так называемая геометрия Римана. Геометрия Римана является широким обобщением геометрий Евклида и Лобачевского. В ней расстояние между точками находится не с помощью  равенства (12), а с помощью более общего равенства. Если  к пространственным координатам точки определенным образом добавить также и время, то снова получают пространственно- временной континуум. Но этот континуум  не просто обобщает риманову геометрию, а становится для нее таким обобщением, каким является континуум Минковского по отношению к евклидовой геометрии.

 В результате получают не собственно риманову, а так называемую псевдориманову геометрию. В этой геометрии, как и в геометрии Евклида, геометрии Лобачевского, геометрии Римана можно найти так называемые геодезические линии – кратчайшие линии, соединяющие точки псевдориманова континуума. Так вот, когда Эйнштейн строил общую теорию относительности, он в качестве аксиомы взял тот факт, что любая частица в поле (гравитационном, электрическом, электромагнитном и т.д.) может двигаться только по таким кривым, которым в четырехмерном пространственно-временном континууме соответствуют  геодезические линии. Подчеркнем – это не кратчайшие линии трехмерного  физического пространства, а кратчайшие линии именно четырехмерного пространства-времени.

          Связав таким образом физику и геометрию, Эйнштейн нашел объяснение целому ряду физических парадоксов, которые без его теории выяснены не были. К числу таких парадоксов, в частности, относятся.

          1. Смещение перигелия Меркурия.

          Перигелием называется точка орбиты планеты, ближайшая к Солнцу. Эта точка постепенно изменяет свое положение на орбите. Но, если пользоваться только теорией гравитации Ньютона, то оказывается, что Меркурий вроде не подчиняется зтой теории – его перигелий изменяет свое положение намного быстрее, чем это должно быть.

          Найдя псевдориманову геометрию, порожденную телами, двигающимися в поле притяжения Солнца, найдя геодезические линии соответствующего пространства-времени, Эйнштейн установил, что смещение перигелия Меркурия должно осуществляться так, как это на самом деле и происходит.

          2. Искривление траектории светового луча окрестности Солнца.

          Выяснение – то же самое, что и в случае Меркурия.

          Есть еще несколько парадоксов, которые нашли объяснение в теории относительности, построенной на геометрических основах.

 


 
Copyright ©2004 Astersoft Ltd. All Rights Reserved. info@astersoft.net