ТРИ      ВЕЛИКИХ     ЗАДАЧИ     ДРЕВНОСТИ

  1.  В истории математики   есть много истин, непосредственное  значение  которых ничтожно, но,  которые, однако, в развитии нашей науки сыграли  исключительную роль.  Значение зтих истин состоит  в  том, что они явились своего рода детонатарами, очагами,  от которых  возгорелись многие   великолепные светильники   математики.  Наиболее  яркий пример   этого   представляют  великие  задачи  древности.

  2.  Нам представляется  наиболее  естественным   отнести  возникновение  великих  задач  к периоду  пифагорейской математики,  периоду,  давшему  импульсы  многим   направлениям  в  математике , но  значение  которого,  на  наш  взгляд,   совершенно незаслуженно  игнорируется  на  том  лишь  только  основании,  что   в  этот период-де  трудно отличить правду  от вымысла.  Не  ставя  перед  собой  задачу   произвести  такое  отделение,  мы  можем  однако  с  полной   уверенностью  констатировать,  что в   6  в. до н.э.  в  древней   Греции   математика находилась  на том уровне  развития,  который  обычно  связывается  с  довольно сомнительными   именами   Пифагора  и   последователей  его  школы.

   3.   Одной из  больших  заслуг   пифагорейцев  является установление  ими  одной  замечательной  геометрической  истины,  вошедшей  в  историю  математики  под  именем  теоремы  Пифагора.  Полагают,   что  эта  истина  была  известна  еще  до  6 в.до н.э.  в   Египте, что  к  пифагорейцам она  не имеет  ровно  никакого  отношения,  однако  имеется  много  аргументов  за  то,  что  теорема   Пифагора  была  впервые  доказана  пифагорейцами.

    4.    Для  нас  представляют  исключительный  интерес  вполне естественные попытки  обобщения  этой  теоремы.   В  частности,  было     немедленно  обнаружено,  что  теорема  Пифагора   остается   справедливой  не  только  для  квадратов,  но  для  любых  подобных  фигур,  построенных  на  катетах  и  гипотенузе  прямоугольного  треугольника.  Таковыми  являются,  например,  полукруги,  построенные на  указанных  отрезках,  как  на  диаметрах.  При  этом  получается  весьма   любопытная   вещь:  площадь  заштрихованных  фигурок   равна  площади  заштрихованного  треугольника.  Такие  фигурки,  ограниченные  дугами  окружностей,  по  известным  причинам  получили  название   луночек  Гиппократа.

                    Таким  образом,  с  помощью  некоторых  построений  можно  определенные  луночки  Гиппократа   превратить  в  равновеликий  им  прямоугольный  треугольник,  а,  следовательно,  и  квадрат.

         В  то же время  с   помощью   теоремы  Пифагора  можно  убедиться  в  том,  что   площадь  круга,  построенного  как  на  диаметре,    на  высоте  АВ  прямоугольного  треугольника,  равна  площади  заштрихованной  фигуры,  которая  в  силу  своего 

сходства  с  сапожным  ножом  получила  название  «арбелона».   Арбелон  представляет  собой  фигуру,  ограниченную  дугами  окружностей,  т.е.  тоже  некоторую  луночку  Гиппократа.

        Таким  образом,  с  помощью  некоторых  построений  можно  определенные  луночки  Гиппократа  превратить  в  равновеликий  им  круг.  Напрашивается  мысль  как-то  связать  арбелон  с  двумя  первыми  луночками  Гиппократа,  а  тем  самым    преобразовать  круг  в равновеликий  ему  квадрат.  Мы имеем   первую  из  великих  задач  древности:   С   помощью   известных  построений  ( о  них речь  будет  идти  ниже  )   преобразовать данный  круг  в  равновеликий  ему  квадрат.

Эта  задача   в  истории  математики  получила  название  задачи  квадратуры  круга.

5.   Теорема  Пифагора  позволяет  построить  сторону  квадрата,  равновеликокго  сумме  двух данных  квадратов.  Для  этого  достаточно  стороны  данных   квадратов  расположить  под   прямым   углом.  В  частности, оказывается  возможным   построить  сторону  квадрата,  равновеликого  удвоенному  данному  квадрату.  Вполне  естественно  могло  возникнуть  желание   с  помощью  подобных  построений  найти  ребро  куба,  объем  которого  равен  удвоенному  объему  данного  куба.  Мы  получаем  вторую  из   великих  задач  древности:  С  помощью  некоторых  построений найти  ребро  куба,  объем которого  в  два раза  больше  объема  данного   куба.

     В  истории  математики  эта  задача   называется  задачей  об  удвоении  куба.  Ее называют  часто  также   делосской  задачей  из-за   легенды,  которую  обычно  связывают  с  данной  задачей.

6.   Нам  не  удалось  проследить  связи  между  теоремой  Пифагора   и  третьей  из  великих  задач    -     задачей   о трисекции  угла.  Мы ограничимся   поэтому  простой  формулировкой  этой  задачи:  с  помощью некоторых  построений   разделить  произвольный  угол  на  три  равные  части.

  7.   Итак,  имеются   три  исторически   сложившиеся   задачи

 а)      построить  сторону  квадрата,  равновеликого  данному  кругу;                                                    

  в)     построить  ребро  куба,  объем которого  в  два  раза  больше  объема данного  куба            

  с)      разделить  произвольный  угол  на три  равные  части.

        Однако,  если оставить   формулировку  этих  задач  такой,   как  она  только что  приведена,  то   эти  задачи  хотя  и  привели  бы  к  некоторым   открытиям  (  о  них  мы  будем  говорить  ниже ),  эти   открытия  едва  ли  послужили  бы   достаточным  основанием  для  того,  чтобы  задачи  получили  название   великих.    Весьма  существенным   условием,  налагающимся  на  все  указанные  построения   является  то,  что  все  эти построения  должны  быть  выполнены  без  использования  каких-либо  иных  средств,  кроме  циркуля  и  линейки.

   8.  Существует много мнений на  тот  счет,  почему  греки  выделяли  циркуль  и  линейку  из  всех  прочих  инструментов.   Весьма  неубедительным  представляется  мнение,  согласно  которому  предпочтение, оказываемое  циркулю  и  линейке,   обуславливается  лишь простотой  этих  инструментов.  Есть  много  инструментов  не менее  простых.  Мы  готовы   усмотреть  причину  такого   предпочтения  в  религиозных  представлениях  древних  греков.

     9.   Три  великие  задачи   испытали  на  себе   судьбу   всех  задач,  в   течение  продолжительного  времени  не  поддававшихся  решению  -   они  стали  обрастать легендами  и  небылицами,  обещавшими   райские  блаженства  всякому,  кому  окажется  доступным  их   решение.  В  попытках  решить  эти  задачи   принимали  участие   как  математики  всех  рангов  и  научных  интересов,  так  и  сонм  людей,  не  имеющих  к  математике  никакого  отношения.  Академии  наук  буквально  наводнялись  сообщениями  о  найденных  «решениях».  Рассмотрение  этих  «решений»  было  таким  утомительным   и  бесполезным  делом, что  Парижская  Академия  наук  через  своего  секретаря  Кондорсе  обратилась  к  своим  корреспондентам   с  заявлением,  что  Академия  впредь  отказывается  рассматривать  как  «решения»  этих   задач,  так  и  проекты  машин,  долженствующих  осуществлять  вечное  движение.  Тем  не  менее,  ажиотаж,  вызванный  рассматриваемыми  нами  задачами,  принес  несомненную  пользу.

     10.  Бесконечное  множество  попыток  решить  задачи  с  соблюдением  всех  условий,  высказанных  в  их  формулировке,  кончалось  неудачно.  Это  обстоятельство  не  могло  не  натолкнуть  на  мысль  о  невозможности  решений.  Забегая  несколько  вперед,  мы  согласимся  с  тем,  что  эта  мысль  соответствует  истине.  Чтобы  убедиться  в  ее  справедливости,  мы  приведем  формулировку  задач  на  языке  алгебры,  что  будет  соответствовать   и  ходу  исторических  процессов,  и,  идя  этим  путем,  мы  попутно  отметим  те  фундаментальные  выводы,  которые  явились  как  естественные  следствия  определенных  идей

    11. а)  Если   r -  радиус  данного  круга,   х – сторона  искомого  квадрата, то  задача  о  квадратуре  круга,   очевидно,  сводится  к  решению  уравнения

   Отсюда

Поскольку  мы  можем   с  помощью циркуля   и  линейки    строить  произведения  чисел  и  квадратные  корни  из  них,  то  очевидно,  что  для  решения  задачи  достаточно  построить  .    Итак,  задача  о  квадратуре  круга  сводится  к  вопросу:    

Можно ли  с  помощью  циркуля  и  линейки  построить  число  ?

          в)    Если     -  ребро данного  куба,    -  ребро  искомого,  то  задача  об  удвоении  куба   сводится   к  решению  уравнения  

 Отсюда

Эта задача  сводится, таким  образом,  к  вопросу:  Можно  ли  с  помощью  циркуля  и   

линейки    построить  число ?

с)   Зная,  например,  косинус  угла, мы, очевидно,  можем  построить  и самый  угол  и  наоборот.   Поэтому,  говоря  о  задаче    трисекции  угла,  мы  можем  считать  данным

   и  искомым  . Поскольку   ,  то   задача  о  трисекции   угла  сводится  к   решению    уравнения .

    Итак,   можно  ли  с помощью  циркуля  и линейки  построить  корень  данного  кубического  уравнения? 

     12.  Мы видим,  что  все  три  задачи    сводятся  к  решению  каких-то  уравнений.

Вполне  естественно  мы приходим  к  вопросу:  в  каких  случаях  корни  уравнения  могут  быть  построены  с  помощью  циркуля  и  линейки?  Очевидно,  могут  быть построены  корни  уравнения,  сводящегося  к  цепи  квадратных,  причем  коэффициентами  первого  в  этой  цепи  квадратного  уравнения  являются  или  данные  величины,  или  величины,  могущие  быть  построенными  из  данных.   Далее,  всякая  задача,  решаемая  с  помощью  циркуля  и линейки,  сводится,  очевидно,  к  нахождению  точек  пересечения   прямых  и  окружностей  между  собою.  Отнеся  все  линии  к  некоторой  прямоугольной  декартовой   системе  координат,  мы  заключим, что   нахождение  этих  точек   сводится  к  решению   уравнений   степени  не  выше  второй.  Следовательно,  и  обратно,    всякое  уравнение,  корни  которого  могут  быть  построены  с  помощью  циркуля  и  линейки,  сводится  к  цепи  квадратных  уравнений.   Известно  далее, что  степень  уравнения,  сводящегося  к  цепи  квадратных  и  неприводимого  в  поле  рациональных  чисел,  является  обязательно  степенью  двойки. 

Но  раз  так,  то,  следовательно,  уравнения   и   (неприводимость  которых  в  поле  рациональных  чисел  легко  может  быть  доказана)  не  могут  быть  решены  с  помощью  циркуля  и  линейки.  Тем  самым  показывается  невозможность  решения  задач  об  удвоении  куба  и  о  трисекции  угла.  Если  внимательно  проанализировать  вопросы  приводимости  уравнений,  то  можно  прийти  к  заключению,  что  возможность  построения  корня  некоторого  алгебраического  уравнения  с  помощью  циркуля  и  линейки   сводится  к  возможности  построения  с  помощью  этих  инструментов  корня   алгебраического уравнения  с  целыми  коэффициентами.  В  конце  прошлого  века   было  доказано,  что  число  p   не  может  быть  корнем   не  только  никакого  уравнения,  сводящегося   к  цепи  квадратных,  но  оно  не  может  корнем  вообще  никакого   алгебраического  уравнения  с  целыми  коэффициентами.  Оно  относится  к  категории  так  называемых  трансцендентных  чисел.  Тем  самым  была  доказана  и  невозможность  решения  задачи  о  квадратуре  круга  с  помощью  циркуля  и  линейки.

   13.  Попытки решения  великих  задач  вызвали  много  вопросов  исключительной  важности.  Мы  видели,  что  возможность  решения   задач  сводится  к  возможности  решения   известных  алгебраических  уравнений   с  целыми  коэффициентами  в  квадратных  радикалах.  Вполне  естественно  возникает  вопрос  о  возможности  разрешения  в  квадратных  радикалах   произвольного  алгебраического  уравнения  с целыми  коэффициентами.  Этот  вопрос  привел  к  исследованию  о  приводимости  многочленов,  о  числовых  полях,   об  алгебраических  расширениях.   Как  известно,  эти  исследования  составляют  содержание  наиболее  существенных  разделов  современной  высшей  алгебры.  

   14.  От  вопроса  о  разрешимости  в  квадратных  радикалах  недалеко  до  вопроса  о  возможности  разрешения  произвольных  алгебраических  уравнений  в  радикалах  вообще, т.е.  о  возможности  представления  корней  таких  уравнений  в  виде  функций  от  коэффициентов  уравнений,  полученных  применением  лишь  операций  сложения,  умножения,  возведения  в  степень  и   извлечения  корня. В  начале ХIХ   столетия  норвежским  математиком  Абелем  была  доказана  замечательная  теорема  о  невозможности  разрешения  в  радикалах  произвольного  уравнения  выше  4-й  степени.

   15.   Если  произвольное  уравнение   выше  4-й  степени  в  радикалах  не  может  быть  разрешено,   то  какому  условию должны  удовлетворять  коэффициенты  уравнения  для  того,  чтобы  такое  разрешение  оказалось  возможным?  Рассмотрение  этого вопроса  привело  в  начале  прошлого  века  французского  математика  Галуа  к  созданию  одной  из  фундаментальнейших  теорий  высшей  алгебры -  теории  Галуа.

    16.  Теория  Галуа  ввела  в  математику  одно  из  фундаментальнейших  понятий  -  понятие  группы.  Это  понятие  является  в  настоящее  время  настолько  авторитетным,  что  некоторые  энтузиасты  готовы  целые  дисциплины  высшей  математики  считать  отдельными  главами  теории  групп.

     17.    Вопрос  о  разрешимости  уравнений  в  радикалах  привел  к  выделению  класса  чисел,  не  являющихся  корнями  никакого  алгебраического  уравнения  с  целыми  коэффициентами -  т.н.  трансцендентных  чисел.  Создание  теории  таких  чисел   выпало  на  долю  известных  французских  математиков  прошлого  века  Лиувилля  и  Эрмита.    Противопоставлением   трансцендентным  числам  явились  числа  алгебраические. В  настоящее  время  очень  много  фундаментальных  результатов  в  каждой  из  этих  теорий  получено  российскими  математиками  Кузьминым,  Хинчиным,  Гельфондом  и  др.

     18.  Попытки   решения  великих  задач  привели  к  множеству  результатов,  относящихся  к  теории  бесконечных  произведений,  а  также  к  теории бесконечных  непрерывных  дробей.

      19.   Попытки  решения  задач,  вернее  неудача  попыток  решения  только  с  помощью  циркуля  и  линейки   привели  к  выделению  целых  классов   замечательных  алгебраических  и  трансцендентных  кривых.

      20.   Еще  Гиппократ  Хиосский  свел  задачу  об  удвоении куба  к  нахождению  двух  средних  пропорциональных  между  двумя данными  величинами.  Это  привело  к  открытию  конических  сечений.  Последнее  обычно  связывается  с  именем  Менехма.  Теория  конических  сечений   была  построена   Аполлонием  Пергским.  Эта   теория   имеет  фундаментальное  значение  в  современной  механике  и  астрономии.

    21.  Задача   о  трисекции  угла   привела  к  открытию  различного  рода  спиралей  и  конхоид.  Гиппием  из  Элиды  была  открыта  квадратрисса,  которая  может  быть  применена   и  к  решению  задачи  о  квадратуре  круга  и  к   задаче  о  трисекции  угла.

     22.  Задачей  о  квадратуре  круга  занимались   софисты.  Вероятно,  именно  их  исследования  в  соединении  с  некоторыми  канонами,  завещанными  древними  пифагорейцами, привели  к  созданию  одного  из  основных   методов  древности   метода  исчерпывания.